Родился он 11 апреля 1762 года в Зимнем дворце и унаследовал от отца отчество «Григорьевич». Через 2 месяца после рождения Алексея 33-летняя Екатерина взошла на русский престол. Сыну она своего имени не открыла. Воспитанием не занималась, перепоручив его крестному И.И.Бецкому и гувернеру О.М.Дерибасу.


Происхождение фамилии Бобринский связывают с тем фактом, что при достижении им 13-летнего возраста Екатерина подарила своему сыну поместье Бобрики в Тульской губернии и пожаловала фамильный герб графа Бобринского. Об этом свидетельствует письмо императрицы от 2 апреля 1781 года, в котором она документально подтверждает рождение ею сына Алексея.


Кроме Бобрика Алексею Григорьевичу были пожалованы и имения в Богородицке в той же губернии. В них числились десятки тысяч десятин земли и тысячи крепостных.


Богородицк навсегда остался родовым гнездом Бобринских.


Молодой Бобринский имел от знаменитой матери годовой пансион в 30 тыс. рублей, вел беззаботную жизнь, странствовал по миру, проигрывал деньги в карты и делал долги. Мать – императрица велит беспутному сыну возвратиться в Россию и жить под суровым надзором в Ревеле (Таллин). Здесь в 1796 году он женится на дочери коменданта города Ревеля баронессе Анне Унгер-Штеренберг, которая родила ему четырех детей – трех сыновей и одну дочь.


В этом же году умерла Екатерина II и Алексей Григорьевич получает от своего брата по матери, нового императора Павла I, чин генерал-майора и возводится в «графское Российской империи достоинство».


Умер первый граф Бобринский в 1813 году в своем родовом имении Богородицке.


Вдова А.Г.Бобринского Анна Владимировна (1769 – 1846) в 1820 году в собственном доме открыла школу взаимного обучения для детей крепостных крестьян, взяв на себя все расходы по ее содержанию. Это о ней писал в своем “Дневнике” А.С.Пушкин: “Старуха Бобринская… всегда за меня лжет и вывозит меня из хлопот”.